Question

若定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2，則下列說法一定正確的是（　　）

A、f（x）是奇函數

B、f（x）是偶函數

C、f（x）+2是奇函數

D、f（x）+2是偶函數

Answer 1

分析：對任意x₁，x₂∈R有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，由此得f（0）=-2，f（x）+2=-f（-x）-2=-[f（-x）+2]，即可得答案．

解答：解：∵對任意x₁，x₂∈R有
f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，
∴令x₁=x₂=0，得f（0）=-2
∴令x₁=x，x₂=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+2，
∴f（x）+2=-f（-x）-2=-[f（-x）+2]，
∴f（x）+2為奇函數．
故選C

點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，其中根據已知確定|f（x）|、|g（x）|也為偶函數，是解答本題的關鍵．