Question

下列四種說法中，錯誤的個數是（　　）
①A={0，1}的子集有3個；
②命題“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是：“不存在x0∈R， 2x0＞0；
③函數f（x）=e^-x-e^x的切線斜率的最大值是-2；
④已知函數f（x）滿足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），則f（1）+f（2）+…+f（10）=1023．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①根據一個非空集合子集的個數公式進行求解；
②根據命題否定的定義，進行求解；
③利用導數研究直線的斜率，再利用均值不等式進行求解；
④已知函數f（x）滿足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），可知

f(x+1)

f(x)

=2，構成等比數列，根據等比數列求和公式進行求解；

解答：解：①A={0，1}的子集個數為：2²=4，故①錯誤；
②命題“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是對任意的x0∈R， 2x0＞0；故②錯誤；
③函數f（x）=e^-x-e^x的切線，
∴f′（x）=-e^-x-e^x=-（

1

ex

+e^x）≤-2（當e^x=

1

ex

時，即x=0時，等號成立），
∴函數f（x）=e^-x-e^x的切線斜率的最大值是-2，故③正確；
④已知函數f（x）滿足f（1）=1，且f（x+1）=2f（x），
∴

f(x+1)

f(x)

=2，可得f（x）為等比數列，f（1）=1，
∴f（x）=1×2^n-1=2^n-1，
∴f（1）+f（2）+…+f（10）=

1×(1-210)

1-2

=1024-1=1023；
故④正確；
故選B；

點評：此題主要考查命題的真假判斷與應用，是一道基礎題，考查的知識點比較全面；