Question

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：

（1）求兩點間的距離；
（2）證明：平面；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）2；（2）證明詳見解析；（3）．

試題分析：（1）取的中點，先證得就是二面角的平面角，再在中利用余弦定理即可求得兩點間的距離；（2）欲證線面垂直：平面，轉化為證明線線垂直：，，即可；（3）欲求直線與平面所成角，先結合（1）中的垂直關系作出直線與平面所成角，最后利用直角三角形中的邊角關系即可求出所成角的正弦值．
試題解析：（1）取的中點，連接，
由，得：，
就是二面角的平面角，．
在中，
．
（2）由，，
 ，
，  又平面．
（3）方法一：由（1）知平面平面
∴平面平面平面平面，
作交于，則平面，
就是與平面所成的角．
方法二：設點到平面的距離為，
∵  
 于是與平面所成角的正弦為．
方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，
則．
設平面的法向量為n，則
n， n，
取，則n， 于是與平面所成角的正弦即
．