Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D為AC中點，于（不同于點），延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐，如圖2所示.

（1）若M是FC的中點，求證：直線//平面；
（2）求證：BD⊥；
（3）若平面平面，試判斷直線與直線CD能否垂直？并說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析，（2）詳見解析，（3）不能垂直.

試題分析：（1）折疊問題注意折疊前后直線平行與垂直關系是否變化，若不變，則成為隱含條件.本題中，折疊前,分別為中點，所以//，且折疊后仍不變，這就是證線面平行的關鍵條件.應用線面平行判定定理證明時，需寫全定理所需全部條件.（2）同樣，折疊前，折疊后這一條件對應變化為，由線面垂直判定定理可證結論.注意必須交代是平面中兩條相交直線.（3）判斷直線與直線CD能否垂直，從假設垂直出發比較好推理論證.若直線與直線CD垂直，又由可得,即有因而可推得,即有，又在同一平面內，所以與重合，這與題意矛盾.
試題解析：解：
（1）因為,分別為中點，所以//          2分
又，
所以.           4分
（2）因為，且
所以      7分
又
所以            9分
（3）直線與直線不能垂直                   10分
因為,,,
，
所以.                   12分
因為，所以，
又因為，所以.
假設，
因為，，
所以，                     13分
所以，
這與為銳角矛盾
所以直線與直線不能垂直.                   14分