Question

【題目】已知函數．

（1）求函數的單調區間與最值；

（2）若方程在區間內有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍．（其中為自然對數的底數）

Answer 1

【答案】（1）單調增區間是；單調減區間是，，無最小值；（2）

【解析】

（1）求出后討論其符號可得函數的單調區間和最值.

（2）原方程等價于在區間內有兩個不相等的實根，也就是函數與的圖象在區間內有兩個不同交點，結合（1）中函數的單調性可得實數的取值范圍.

（1）∵，， ∴ ，

∴令，即，解得：.

令，即，解得：，

∴函數的單調增區間是；單調減區間是，

∴當時，，無最小值.

（2）∵方程在區間內有兩個不相等的實根，

∴方程在區間內有兩個不相等的實根，

∴函數與的圖象在區間內有兩個不同交點，

又由（1）知函數在上單調遞增；在上單調遞減 ，

∴當時，，，

又，∴，

∴，∴，

∴實數的取值范圍為.