Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）函數在上的最大值.

①求；

②若過點可作出曲線的三條切線，求的范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②或且．

【解析】

（1）求，令便得到，或，所以討論和2的關系，即判斷和0的關系：分，，三種情況，判斷每種情況下的的符號，從而判斷的單調性；

（2）①對應（1）中的三種情況：，，，判斷在每種情況下在，上的單調性，根據單調性求函數在，上的最大值；

②要作的三條切線，則圖象應是曲線，所以，，求，設切點為，將切點代入切線方程，則這個關于的方程有三個不同的實數根，再利用導數研究三次方程根的情況，即可求得的取值范圍．

（1），令得，，或；

若，即，

，或時，；時，；

在，上單調遞增，在，上單調遞減；

若，即，，

函數在上單調遞增；

若，，，或時，；時，；

在，上單調遞增，在單調遞減；

（2）①由（1）知：

當時，在，單調遞減，在，單調遞增；

對于此時的的最大值比較，即可；

∵，

時，，∴；

∵時，，∴；

當時，在，上單調遞增，∴；

當時，在，上單調遞增，∴；

∴；

②根據題意，，，

所以設過點所作切線的切點為，，斜率為；

切線方程為，

∵點在切線上，所以，

將上式整理成：，

則關于的方程有三個不同的實數根，且；

令，

則應有三個不同的零點，，令，則，或，，中一個是極大值，一個是極小值；

時，是極小值，是極大值，；

解得；

令，，令，得，，或4；

在，上單調遞減，在，上單調遞增；

可求得，，時，，，且時，；

的解是，；

時，是極大值，是極小值，；

解得，；

∴的解是，且，，且；

綜上得的取值范圍是或且．