Question

【題目】已知數列、、，對于給定的正整數，記，.若對任意的正整數滿足：，且是等差數列，則稱數列為“”數列.

（1）若數列的前項和為，證明：為數列；

（2）若數列為數列，且，求數列的通項公式；

（3）若數列為數列，證明：是等差數列 ．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）； （3）見解析.

【解析】

（1）采用可進行求解，要驗證是否成立

（2）（3）通過題干，將，進行聯立求解，代換掉，，可求得數列的通項公式

（1）當時，，

當時，符合上式， 則，

，則

對任意的正整數滿足，且是公差為4的等差數列，

為數列.

（2），

由數列為數列，則是等差數列，且

即，

則是常數列，，

驗證：，對任意正整數都成立 ．

又由，，

兩式相減，得：，

，

（3）由數列為數列可知：是等差數列，記公差為

，

則

又，，

數列為常數列，則

由，

是等差數列.