Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分別是AB的兩個三等分點，AC，DF相交于點G，建立適當的平面直角坐標系：
（1）若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍，求動點M的軌跡圍成區域的面積；
（2）證明：E G⊥D F．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，求出動點M的軌跡方程，即可求出圍成區域的面積；
（2）求出直線AC，DF的方程，可得G的坐標，計算k_EG•k_DF=-1，即可得到結論．

解答：（1）解：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）
設M（x，y），由題意知|MD|=2|MC|…（2分）
∴

x2+(y-1)2

=2

(x-3)2+(y-1)2

…（3分）
兩邊平方化簡得：即（x-4）²+（y-1）²=4…（5分）
即動點M的軌跡為圓心（4，1），半徑為2的圓，
∴動點M的軌跡圍成區域的面積為4π…（6分）
（2）證明：由A（0，0）．C（3，1）知直線AC的方程為：x-3y=0，…（7分）
由D（0，1）．F（2，0）知直線DF的方程為：x+2y-2=0，…（8分）
由

x-3y=0 x+2y-2=0

得

x= 6 5 y= 2 5

，故點G點的坐標為(

6

5

，

2

5

)．…（10分）
又點E的坐標為（1，0），故k_EG=2，k_DF=-

1

2

   …（12分）
所以k_EG•k_DF=-1，即證得：EG⊥DF    …（13分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線方程的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．