Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2BC，P，Q分別為線段AB，CD的中點，EP⊥平面ABCD．
（1） 求證：AQ∥平面CEP；
（2） 求證：平面AEQ⊥平面DEP．

Answer 1

分析：（1）欲證AQ∥平面CEP，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證AQ與平面CEP內一直線平行，而CP∥AQ，CP?平面CEP，AQ?平面CEP，滿足定理條件；
（2）欲證平面AEQ⊥平面DEP，根據面面垂直的判定定理可知在平面AEQ內一直線與平面DEP垂直，而根據題意可得AQ⊥平面DEP．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，
∵AP=PB，DQ=QC，∴AP

∥

.

CQ．
∴AQCP為平行四邊形．∴CP∥AQ．
∵CP?平面CEP，AQ?平面CEP，
∴AQ∥平面CEP．
（2）∵EP⊥平面ABCD，AQ?平面ABCD，
∴AQ⊥EP．
∵AB=2BC，P為AB中點，∴AP=AD．連PQ，ADQP為正方形．
∴AQ⊥DP．又EP∩DP=P，∴AQ⊥平面DEP．
∵AQ?平面AEQ．∴平面AEQ⊥平面DEP．

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．