Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC =60°，AB=PC=2，AP=BP=．

（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

試題分析：（Ⅰ）要證面面垂直，需在其中一面內找一條直線與另一面垂直，此題在面PAB內過點P向AB作垂線，在三角形PCE中，再根據邊長關系證PE⊥CE，從而得證；（Ⅱ）法一：先找二面角的平面角，在Rt△PEC中，過點E作EF⊥PC于點F，連AF．過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連FH，證是二面角A-PC-D的平面角，再證，在中，求的值，即得所求；法二：以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點空間坐標，設平面PAC與面PCD的法向量，根據條件找和法向量垂直的已知向量列方程組求法向量，再利用求法向量夾角的余弦值，即得所求．
試題解析：（Ⅰ）如圖1所示，取AB中點E，連PE、CE．
則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，所以PE⊥AB．     2分
PE=1，CE=，PC=2，即．
由勾股定理可得，PE⊥CE．     4分
又因為ABÌ平面ABCD，CEÌ平面ABCD，
且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．     5分

而PEÌ平面PAB，
所以平面PAB⊥平面ABCD．     7分
（Ⅱ）（方法1）如圖1，在Rt△PEC中，過點E作EF⊥PC于點F，連AF．
過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連FH．
因為AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．
又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．
已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．
故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．    10分
由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．
而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因為AH⊥平面PCD，所以AH∥EF．
由于AB∥平面PCD，所以A、E兩點到平面PCD的距離相等，故AH=EF．
所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF       13分
在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．
即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．       14分
（方法2）以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），
=（,1,0），=（,0,-1），
=（0,2,0）．            9分
設是平面PAC的一個法向量，
則，即．
取，可得，
．       11分
設是平面PCD的一個法向量，則，即．
取，可得，．         13分
故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．     14分