Question

如圖，四棱錐的底面為矩形，且,,,，

（Ⅰ）平面PAD與平面PAB是否垂直？并說明理由；
（Ⅱ）求直線PC與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）垂直；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）由得，由底面為矩形得，從而有⊥平面.而∥，所以⊥平面，再由線面垂直的性質得平面⊥平面；（Ⅱ）過點作延長線的垂線，垂足為，連接．然后可以證明⊥平面，從而為與底面所成的角．然后根據相關數據得到直角三角形各邊長，最后得到直線與平面所成角的正弦值為.
試題解析：（Ⅰ）平面⊥平面
∵ ∴
∵四棱錐的底面為矩形 ∴
∵?平面，?平面，且∩ ∴⊥平面      (4分)
∵∥ ∴⊥平面 ∵?平面
平面⊥平面                                                     (6分)

（Ⅱ）如圖，過點作延長線的垂線，垂足為，連接．
由（Ⅰ）可知⊥平面
∵?平面
∴平面⊥平面
∵?平面，平面⊥平面，
平面∩平面=
∴⊥平面
∴為在平面內的射影．
∴為與底面所成的角．                     (9分)
，
，在直角三角形中，

在直角三角形中，
故
在直角三角形中，，
故直線與平面所成角的正弦值.               (12分)