Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0），若方程f（x）=x無實根，求證：方程f（f（x））=x也無實根．

Answer 1

考點：函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：利用二次函數的性質和一元二次方程無實數根與判別式的關系即可得出．

解答： 證明：∵f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
方程f（x）=x 即f（x）-x=ax²+（b-1）x+c=0無實根，f（x）-x仍是二次函數，f（x）-x=0仍是二次方程，且無實根，∴△＜0．
若a＞0，則函數y=f（x）-x的圖象在x軸上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x對任意實數x恒成立．
∴對f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x無實根．

點評：本題考查了二次函數的性質和一元二次方程無實數根與判別式的關系，屬于難題．