Question

若有窮數列{a_n}滿足：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i是正整數，且1≤i≤n）就稱數列{a_n}為對稱數列．
（1）已知數列{b_n}是項數為7的對稱數列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差數列，b₁=2，b₄=11，試寫出數列{b_n}的每一項；
（2）已知數列{c_n}是項數為2k-1（k＞1）的對稱數列，且c_k，c_k+1，c_k+2，…，c_2k-1構成首項為50，公差為-4的等差數列，數列{c_n}的前2k-1項和為s_2k-1，問k為何值時s_2k-1取得最大值，最大值為多少？
（3）對于給定的正整數m＞1，試寫出所有項數不超過2m的對稱數列，使得1、3、5、…、2m-1成為數列中的連續項，當m≥1500時，試求其中一個數列的前2014項和s₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）設{b_n}的公差為d，由b₁，b₂，b₃，b₄成等差數列求解d從而求得數列{b_n}，
（2）先得到S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，用二次函數求解，
（3）按照1，3，5…，2m-1是數列中的連續項按照定義，用組合的方式寫出來所有可能的數列，再按其數列的規律求前n項和取符合條件的一組即可．

解答： 解：（1）設{b_n}的公差為d，則b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴數列{b_n}為2，5，8，11，8，5，2．
（2）S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k，
∴S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴當k=13時，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值為626．
（3）所有可能的“對稱數列”是：
①1，3，5，…，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
②1，3，5，…，2m-1，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
③2m-1，2m-3，…，5，3，1，3，5，…，2m-3，2m-1；
④2m-1，2m-3，…，5，3，1，1，3，5，…，2m-3，2m-1．
對于①，當m≥2014時，S₂₀₁₄=1+3+5+…+（2×2014-1）=2014²．
當1500≤m≤2013時，S₂₀₁₄=1+3+…+（2m-1）+（2m-3）+…+（4m-4029）=m²+

(2014-m)[(2m-3)+(4m-4029)]

2

=m²+（2014-m）（3m-2016）．
對于②，當m≥2014時，S₂₀₁₄=2014²．
當1500≤m≤2013時，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）（3m-2014）．
對于③，當m≥2014時，S₂₀₁₄=4028m-2014²．
當1500≤m≤2013時，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）（2016-m）．
對于④，當m≥2014時，S₂₀₁₄=4028m-2014²．
當1500≤m≤2013時，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）²．

點評：本題一道新定義題，這樣的題做法是嚴格按照定義要求，將其轉化為已知的知識和方法去解決，本題涉及到等差數列的通項公式，等比數列求和，構造數列等知識．