Question

【題目】已知函數定義在上且滿足下列兩個條件:

①對任意都有;

②當時,有，

（1）求，并證明函數在上是奇函數；

（2）驗證函數是否滿足這些條件；

（3）若，試求函數的零點.

Answer 1

【答案】（1）奇函數（2）見解析（3）.

【解析】試題分析：

（1）對選取特殊值驗證可得結論．（2）求出函數的定義域，然后對條件①②分別進行驗證可得函數滿足這些條件．（3）根據單調性的定義和函數為奇函數可證得在上單調遞減，由得故，再根據函數的單調性可得，可求得為函數的零點．

試題解析：

（1）令x=y=0，則

∴．

令，則

∴，

所以函數在（－1，1）上是奇函數.

（2）由得，所以函數的定義域為（-1，1）．

① ．

②時， ，

∴ ，

∴．

故函數是滿足這些條件.

（3）設，

則

∵,

∴,,

由條件②知，

∴，

∴,

故在(-1,0)上為減函數．

由奇函數性質可知, 在（0，1）上仍是單調減函數.

∴在(-1,1)上單調遞減．

，

．

由得

∴，

整理得

解得，

又，

．

故函數的零點為．