Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處的切線方程為y=3x+1，
（1）若函數y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）的表達式；
（2）在（1）條件下，若函數y=f（x）在[-2，m]上的值域為[

95

27

，13]，求m的取值范圍；
（3）若函數y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調遞增，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
∴

f′(1)=3 f(1)=4

即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4

∵函數y=f（x）在x=-2時有極值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 -4a+b=-12

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）得：f（x）=x³+2x²-4x+5，畫出它的圖象，如圖，
由圖可知，
若函數y=f（x）在[-2，m]上的值域為[

95

27

，13]，
m的取值范圍是：[

5

3

，2]．
（3）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函數y=f（x）在區(qū)間[-2，1]上單調遞增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①當x=

b

6

≥1時f′（x）的最小值為f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
②當x=

b

6

≤-2時，f′(x)的最小值為f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅
③-2＜

b

6

＜1時，f′（x）的最小值為

12b-b2

12

≥0∴0≤b≤6
總之b的取值范圍是b≥0