Question

【題目】設函數為定義在上的奇函數，且當時，.

（1）求函數的解析式；

（2）求實數，使得函數在區間上的值域為；

（3）若函數在區間上的值域為，則記所有滿足條件的區間的并集為，設，問是否存在實數，使得集合恰含有個元素？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據函數為奇函數，利用求得當時的表達式，由此求得的解析式.

（2）判斷出函數在時的單調性，由此得到，由求解得的值.

（3）利用，求得集合，利用分段函數的解析式，結合分離常數法，求得的取值范圍.

（1）令則，由于函數為奇函數，故.所以函數的解析式為.

（2）依題意，且當時，是單調遞減函數，故，即是方程的兩個根，即，，由于且，故解得.

（3）由于函數在區間上的值域為，即，，所以同號.當時，，當時，，即函數在區間上單調遞減，即，即是方程的兩個根，或是方程的兩個根，即①，或②.由①解得，由②解得，所以.當，令，得，且為單調遞增函數.當，令，得，且為單調遞減函數.所以在區間上，當時，和各有解，也即存在實數，使得集合恰含有個元素.