Question

設點D為等腰△ABC的底邊BC上一點，F為過A、D、C三點的圓在△ABC內的弧上一點，過B、D、F三點的圓與邊AB交于點E．求證：CD•EF+DF•AE=BD•AF．

Answer 1

證明：設AF的延長線交⊙BDF于K，
∵∠AEF=∠AKB，
∴△AEF～△AKB，因此

EF

AF

=

BK

AB

，

AE

AF

=

AK

AB

．
于是要證CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需證明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）
又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．
我們有S△DCK=

1

2

CD•BK•sin∠C
進一步有

S△ABD= 1 2 BD•AB•sin∠C S△ADK= 1 2 AK•DF•sin∠C

因此要證（2），只需證明S_△ABD=S_△DCK+S_△ADK（3）
而（3）?S_△ABC=S_△AKC?BK∥AC（4）
事實上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得證．