Question

【題目】如圖，圓O與圓P相交于A，B兩點，圓心P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點B，CP及其延長線交圓P于D，E兩點，過點E作EF⊥CE，交CB的延長線于點F.

(1)求證：B，P，E，F四點共圓；

(2)若CD＝2，CB＝2 ，求出由B，P，E，F四點所確定的圓的直徑．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）欲證四點B、P、E、F共圓，只要通過三角形Rt△CBP和Rt△CEF相似證明由此四點構成的四邊形對角互補即可；

（2）先根據（1）中四點B，P，E，F共圓條件得切線，再由切割線定理及三角形相似求得EF，最后再結合勾股定理求得PF即為所求圓的直徑即可．

試題解析：

(1)證明：如圖，連接PB.

因為BC切圓P于點B，所以PB⊥BC.

因為EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，

所以B，P，E，F四點共圓．

(2)連接PF，因為B，P，E，F四點共圓，

且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圓的直徑就是PF.

因為BC切圓P于點B，且CD＝2，CB＝2，

所以由切割線定理得CB2＝CD·CE，

所以CE＝4，所以DE＝2，則BP＝PE＝1.

又因為Rt△CBP ∽Rt△CEF，

所以＝，得EF＝.

在Rt△FEP中，PF＝＝，

即由B，P，E，F四點確定的圓的直徑為.