Question

（本小題滿分13分）
設(shè)函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，。
（1）若時(shí)，求的解析式；
（2）對(duì)于函數(shù)，試問：在它的圖象上是否存在點(diǎn)，使得函數(shù)在點(diǎn)處的切線與平行。若存在，那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè)；若不存在，說明理由。
（3）已知，且 ，記，求證： 。

Answer 1

解：（1）；（2）滿足題意的點(diǎn)有5個(gè)；（3）  .                          

本試題主要考查了函數(shù)的解析式的求解，以及過點(diǎn)的切線方程的問題，和不等式的證明 的綜合運(yùn)用。
（1）第一問中將所求的變量轉(zhuǎn)化為已知的區(qū)間，利用已知的關(guān)系式求解得到解析式。
（2）在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到函數(shù)的一般式，然后利用導(dǎo)數(shù)的思想，只要判定導(dǎo)函數(shù)為零，方程有無解即可。
（3）在第二問的得到函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的最大值，然后結(jié)合函數(shù)的最值得到不等式，再結(jié)合等比數(shù)列的求和的思想得到。
解：（1）∵
設(shè)，則，∴。…………………2分
（2）設(shè)，則，
∴
∴，即為………4分
∵
 
∴問題轉(zhuǎn)化為判斷：關(guān)于的方程在，內(nèi)是否解，即在，內(nèi)是否有解，……………………6分
令
函數(shù) 的圖象是開口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是直線，
判別式，
且，，
當(dāng)時(shí)，∵，
∴方程分別在區(qū)間上各有一解，即存在5個(gè)滿足題意的點(diǎn)
②當(dāng)時(shí)，∵，∴方程在區(qū)間上無解。
綜上所述：滿足題意的點(diǎn)有5個(gè)。                      …………………………9分
（3）由（2）可知：
∴當(dāng)時(shí)，，在上遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上遞減。
∴當(dāng)時(shí)，，
又
∴對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，都有，
∴。
∴                                       …………………………13分