Question

【題目】已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線斜率為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：．

Answer 1

【答案】（1），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系即可求解．

（2）要證明原不等式成立，可轉(zhuǎn)化為證明求解相應(yīng)函數(shù)的范圍，進(jìn)行合理的變形后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可證．

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.，由題意可得，e，故a，.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）證明：設(shè)，則.

當(dāng)x時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故.

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故.

綜上可得，時(shí)，恒有，即．