Question

提高大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當車流密度不超過50輛/千米時，車流速度為30千米/小時．研究表明：當50＜x≤200時，車流速度v與車流密度x滿足，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．

(Ⅰ) 當0<x≤200時，求函數v(x)的表達式；

(Ⅱ) 當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到個位，參考數據）

 

Answer 1

【答案】

（1） （2）當車流密度為138 輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3056輛/小時．

【解析】

試題分析：解：（1)由題意：當時，v(x)=30；

當時，由于, 

再由已知可知，當x=200時，v(0)=0,代入解得k="2000." 故函數v(x)的表達式為

5分

(2)由題意（1）可得

當時，,當時取最大值1500. 8分

當時，

取等號當且僅當

即時， 取最大值。  12分(這里也可利用求導來求最大值）

綜上，當車流密度為138 輛/千米時，車流量可以達到最大，

最大值約為3056輛/小時．　　　　　　　　　　　　　　　       14分

考點：函數的運用

點評：主要是考查了實際問題中的函數模型的運用，分析問題和解決問題能力的考查，屬于中檔題。