Question

如圖：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（Ⅰ）求三棱錐E-PAD的體積；
（Ⅱ）當點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析：本題考查了空間幾何體的體積、線面位置關系的判定、線面垂直等知識點，
（Ⅰ）利用換底法求V_P-ADE即可；（Ⅱ）利用三角形的中位線及線面平行的判定定理解決；
（Ⅲ）通過證明AF⊥平面PBE即可解決．

解答：解：（Ⅰ）三棱錐E-PAD的體積V=

1

3

PA•S△ADE=

1

3

PA•(

1

2

AD•AB)=

3

6

．（4分）
（Ⅱ）當點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行．（5分）
∵在△PBC中，E、F分別為BC、PB的中點，
∴EF∥PC，又EF?平面PAC，而PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．（8分）
（Ⅲ）證明：
∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，又EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，又AF?平面PAB，
∴AF⊥BE．（10分）
又PA=AB=1，點F是PB的中點，
∴AF⊥PB，
又∵PB∩BE=B，PB，BE?平面PBE，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．（12分）

點評：無論是線面平行（垂直）還是面面平行（垂直），都源自于線與線的平行（垂直），這種“高維”向“低維”轉化的思想方法，在解題時非常重要，在處理實際問題的過程中，可以先從題設條件入手，分析已有的平行（垂直）關系，再從結論入手分析所要證明的平行（垂直）關系，從而架起已知與未知之間的橋梁．