Question

【題目】已知函數(shù)， ． 在上有最大值9，最小值4．

（1）求實數(shù)的值；

（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若方程有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的對稱軸為，又，所以在上單調(diào)遞增，從而得到關(guān)于的方程組，解之即可；

（2）令不等式在上恒成立等價于在上恒成立，轉(zhuǎn)求的最小值即可；

（3）方程有三個不同的實數(shù)根等價于關(guān)于的方程有兩個不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1，借助二次函數(shù)零點的分布情況處理即可.

試題解析：

（1）函數(shù)的對稱軸為，又，所以在上單調(diào)遞增，

，解得．

（2）， ，

令，則，

不等式可化為，

所以，問題等價于在上恒成立，

因為，則： ，

所以： ．

（3）令，圖像如下：

則方程有三個不同的實數(shù)根，

等價于關(guān)于的方程有兩個不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，一根大于0且小于1．

將整理成： ，

若一根等于1，一根大于0且小于1，將代入得，此時， 只有唯一的根，不符要求，

所以，情況為：一根大于1，一根大于0且小于1，

令，則需滿足，解得．

綜上所述： 為所求．