Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（1）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=xlnx，

∴f'（x）=lnx+1，

當 單調遞減，

當 單調遞增，

① ，沒有最小值；

② ，即 時， ；

③ ，即 時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt

所以

（2）解：2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，則 ，

設 ，

則 ，

①x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）單調遞減，

②x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）單調遞增，

所以h（x）min=h（1）=4，

對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，

∵g（x）=﹣x2+ax﹣3．所以a≤h（x）min=4；

【解析】（1）f'（x）=lnx+1，當 單調遞減，當 單調遞增，由此進行分類討論，能求出函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，知 ，設 ，則 ，由此入手能夠求出實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．