Question

以下有四種說法：
（1）若p∨q為真，p∧q為假，則p與q必為一真一假；
（2）若數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n+1，n∈N^*，則a_n=2n，n∈N^*；
（3）若f′（x₀）=0，則f（x）在x=x₀處取得極值；
（4）若定義在R上的函數f（x）滿足f（x+2）=-f（x-1），則6為函數f（x）的周期．
以上四種說法，其中正確說法的序號為

①④

．

Answer 1

分析：（1）由命題真假判斷的真值表即可判斷①的正誤；
（2）由數列{a_n}的前n項和S_n=n²+n+1中的常數項不為0，可知數列{a_n}不是等差數列，從而可判斷其正誤；
（3）可舉例y=x³，當x=0時，f′（0）=0，f（x）在x=0處不取得極值；
（4）可令t=x-1，證得f（t+3）=-f（t），從而可判斷（4）正確．

解答：解：對于（1），∵p∨q為真，p∧q為假，
∴p與q必為一真一假，故（1）正確；
（2）中，∵數列{a_n}的前n項和S_n=n²+n+1中的常數項不為0，
∴數列{a_n}不是等差數列，
∴a_n=2n，n∈N^*是錯誤的，應為分段函數（當n=1時，a₁=3；當n≥2時，a_n=2n，n∈N^*）；
對于（3），不妨令y=x³，y′=3x²，當x=0時，f′（0）=0，但x=0不是零點，f（x）在x=0處不取得極值，故（3）錯誤；
對于（4），令t=x-1，則f（t+3）=-f（t），
∴f[（t+3）+3]=-f（t+3）=f（t），
即f（t+6）=f（t），從而f（x+6）=f（x），
∴6為函數f（x）的周期，故（4）正確．
綜上所述，（1）（4）正確．
故答案為：（1）（4）．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的周期的判斷，考查數列與導數，掌握各部分的基礎知識是綜合應用的關鍵，屬于中檔題．