Question

【題目】在四棱柱中， 底面，四邊形是邊長為的菱形， 分別是和的中點(diǎn)，

（Ⅰ）求證: 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）

【解析】試題分析：(1)在△ADE中，利用余弦定理易得： ，即又平面底面，所以平面，故，得平面；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 是平面的一個(gè)法向量， 是平面的一個(gè)法向量， .

試題解析：

（Ⅰ）證明：由，結(jié)合余弦定理可得，所以

因?yàn)?/span>底面，所以平面底面

又平面底面，所以平面,

因?yàn)?/span>平面，所以 --------①

由，得

因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以 --------②

由①②，得平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）知兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

,取，得,

顯然， 是平面的一個(gè)法向量，

由圖可以看出二面角為銳角二面角，其余弦值為