Question

【題目】已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2﹣2x．
（1）畫出f（x）的簡圖，并求f（x）的解析式；

（2）利用圖象討論方程f（x）=k的根的情況．（只需寫出結果，不要解答過程）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意：函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），當x=0時，有f（0）=0．

當x＞0時，f（x）=x2﹣2x，

當x＜0時，則﹣x＞0，

那么：f（﹣x）=x2+2x，

∵f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣x2﹣2x

f（x）是定義在R上的解析式為f（x）=

（簡圖（如右圖）

（2）解：根據圖象：當k=±1時，有2個實數根，

當﹣1＜k＜1時，有3個實數根，

當k＞1或k＜﹣1時，方程有1個實根

【解析】（1）根據y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f（x）=x2﹣2x．求出f（x）的解析式．作圖．（2）根據函數圖象與函數y=k的交點，即可判斷根的情況．
【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．