Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，點M（2，m）為其上一點，且|MF|=4．
（1）求p與m的值；
（2）如圖，過點F作直線l交拋物線于A、B兩點，求直線OA、OB的斜率之積．

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為 ，準線為 ．

由拋物線定義知：點M（2，m）到F的距離等于M到準線的距離，

故 ，

∴p=4，拋物線C的方程為y2=8x

∵點M（2，m）在拋物線C上，

∴m2=16，即m=±4

∴p=4，m=±4

（2）證明：由（1）知：拋物線C的方程為y2=8x，焦點為F（2，0）

若直線l的斜率不存在，

則其方程為：x=2，代入y2=8x，

易得：A（2，4），B（2，﹣4），

從而 ；

若直線l的斜率存在，設為k（k≠0），則其方程可表示為：y=k（x﹣2），

由 ，消去x，得： ，

即ky2﹣8y﹣16k=0（k≠0），△=64+64k2＞0

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，

∴ ，

從而 ．

綜上所述：直線OA、OB的斜率之積為﹣4

【解析】（1）求得拋物線的焦點和準線方程，由拋物線的定義，可得p的方程，求得p和拋物線的方程，以及m的值；（2）求出拋物線的焦點，討論直線l的斜率不存在，求得交點A，B，可得斜率之積；直線l的斜率存在，設為k（k≠0），則其方程可表示為：y=k（x﹣2），聯立拋物線的方程，消去x，設A（x1，y1），B（x2，y2），運用韋達定理和直線的斜率公式，計算即可得到所求之積．