Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=e2x+1﹣2mx﹣ m，其中m∈R，e為自然對數(shù)底數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若不等式f（x）≥n對任意x∈R都成立，求mn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x∈R，f'（x）=2e2x+1﹣2m，

①當m≤0時，f'（x）≥0，f（x）在R上單調(diào)遞增；

②當m＞0時，令f'（x）=0，得 ，

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

綜上所述，當m≤0時，f（x）在R上單調(diào)遞增；

當m＞0時，f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增

（2）解：由（1）可知，若m≤0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，

f（x）在R上無最小值，與題意矛盾，舍去；

所以m＞0，f（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，

f（x）在R上的最小值為 ．

因為不等式f（x）≥n對任意x∈R都成立，

所以 ，其中m＞0，

故 ，m＞0，

令 ，m＞0， ，

令φ'（m）=0，解得m=1，

m	（0，1）	1	（1，+∞）
φ'（m）	+	0	﹣
φ（m）	↗	極大值	↘

所以 ，故 ，

即mn的最大值為

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為 ，其中m＞0，得到 ，m＞0，令 ，m＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出mn的最大值即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．