Question

（2010•天津模擬）已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線

x2

a

-y2=1的左頂點為A，若雙曲線一條漸近線與直線AM平行，則實數a等于（　　）

• A．

  1

  9

• B．

  1

  3

• C．3
• D．9

Answer 1

分析：根據拋物線的焦半徑公式得1+

p

2

=5，p=8．取M（1，4），雙曲線

x2

a

-y2=1的左頂點為A（-a，0），AM的斜率為

4

1+a

，雙曲線

x2

a

-y2=1的漸近線方程是y=±

1

a

x，由已知得

1

a

=

4

1+a

，由雙曲線一條漸近線與直線AM平行能求出實數a．

解答：解：∵拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，
∴拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其準線的距離為5，
根據拋物線的焦半徑公式得1+

p

2

=5，p=8．
∴拋物線y²=16x，
∴M（1，±4），
∵m＞0，
∴取M（1，4），
∵雙曲線

x2

a

-y2=1的左頂點為A（-

a

，0），
∴AM的斜率為

4

1+ a

，
雙曲線

x2

a

-y2=1的漸近線方程是y=±

1

a

x，
由已知得

1

a

=

4

1+ a

，
解得a=

1

9

．
故選A．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意雙曲線和拋物線性質的靈活運用．