Question

【題目】=在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2（tanA+tanB）= + ．
（Ⅰ）證明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：由 得：

；

∴兩邊同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；

∴2sin（A+B）=sinA+sinB；

即sinA+sinB=2sinC（1）；

根據(jù)正弦定理， ；

∴ ，帶入（1）得： ；

∴a+b=2c；

（Ⅱ）a+b=2c；

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；

∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，當且僅當a=b時取等號；

又a，b＞0；

∴ ；

∴由余弦定理， = ；

∴cosC的最小值為

【解析】（Ⅰ）由切化弦公式 ，帶入 并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，這樣根據(jù)兩角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，從而根據(jù)正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根據(jù)a+b=2c，兩邊平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，從而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了 ，這樣由余弦定理便可得出 ，從而得出cosC的范圍，進而便可得出cosC的最小值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識，掌握正弦定理:，以及對余弦定理的定義的理解，了解余弦定理:;;．