Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且首項a₁≠3，a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*）．
（1）求證：{S_n-3ⁿ}是等比數列；
（2）若{a_n}為遞增數列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點：等比數列的性質,等比關系的確定,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），可得數列{S_n-3ⁿ}是公比為2，首項為a₁-3的等比數列；
（2）n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，利用{a_n}為遞增數列，即可求a₁的取值范圍．

解答： 證明：（1）∵a_n+1=S_n+3ⁿ（n∈N^*），
∴S_n+1=2S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-3ⁿ⁺¹=2（S_n-3ⁿ）
∵a₁≠3，
∴數列{S_n-3ⁿ}是公比為2，首項為a₁-3的等比數列；
（2）由（1）得S_n-3ⁿ=（a₁-3）×2^n-1，
∴S_n=（a₁-3）×2^n-1+3ⁿ，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∵{a_n}為遞增數列，
∴n≥2時，（a₁-3）×2^n-1+2×3ⁿ＞（a₁-3）×2^n-2+2×3^n-1，
∴n≥2時，2n-2[12×(

3

2

)n-2+a1-3]＞0，
∴a₁＞-9，
∵a₂=a₁+3＞a₁，
∴a₁的取值范圍是a₁＞-9．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．