Question

（本小題共14分）

如圖，在Rt中，，點、分別在線段、上，且，將沿折起到的位置，使得二面角的大小為.

（1）求證：；

（2）當點為線段的中點時，求與平面所成角的大小；

（3）求四棱錐體積的最大值.

 

Answer 1

（本小題共14分）

（Ⅰ）證明：在Rt中，，∴.∴.

又∵， ∴平面.   …………………………………2分

又∵平面，∴.  ………………4分

（Ⅱ）解法一：過點作交于，連結.

∵平面，平面，

∴.

∵，∴平面.

∴是在平面內的射影.

∴是與平面所成的角.        ………………………………………6分

∵點為線段的中點，，

∴.

∵，

∴是二面角的平面角.            ………………………………………8分

∵二面角的大小為，  ∴.

在Rt△中，.∴.

在Rt△中，.∴在Rt△中，.

∴與平面所成角的大小為.  …………………………………9分

解法二：如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

∵點為線段的中點，，

∴.

∵，

∴是二面角的平面角.

∵二面角的大小為，

∴.

………………………………………6分

可得，.

則，且平面的法向量n.

∴.∴與平面所成角的大小為.  …………9分

（Ⅲ）設，則.同（Ⅱ）可求得.

在等腰直角三角形中，，

∴. ∴.………11分

設，，則，由得.

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

∴當時，四棱錐體積取最大值為.…………………………14分