Question

【題目】已知橢圓過點，且離心率為.過拋物線上一點作的切線交橢圓于，兩點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使得，若存在，求出的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）橢圓（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據已知條件列有關a、b、c的方程組，求出a和b的值，即可得出橢圓C1的方程；

（Ⅱ）設直線l的方程為y＝kx+t，先利用導數寫出直線l的方程，于是得到k＝2x0，，將直線l的方程與橢圓C1的方程聯立，列出韋達定理，由并代入韋達定理，通過計算得出t的值，可得出x0的值，從而可得出直線l的方程．

（Ⅰ）由題知，得,

所以橢圓,

（Ⅱ）設的方程：,

由求導可得，的方程：,

故 . 由，得.

所以,

由題意可知：

即(4t2-4)(k2+1)-8k2t(t-1)+(t-1)2(4k2+1)=0,

化簡有5t2-2t-3=0，所以t=1或t=,

，

此時，l方程：，經檢驗，直線l符合題意