Question

【題目】已知函數f（x）＝－2＋lnx．

（Ⅰ）若a＝1，求函數f（x）的極值；

（Ⅱ）若函數f（x）在區間[1，2]上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析 （Ⅱ）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）利用導數求單調性的步驟進行即可；（2）函數f（x）在區間[1,2]上為單調函數，等價于在區間[1,2]上，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，然后轉化為最值問題來處理．

試題解析：（1）當a＝1時，f（x）＝3x－2x2＋ln x，其定義域為（0，＋∞），

則f′（x）＝－4x＋3＝＝（x＞0），

當x∈（0,1）時，f′（x）＞0，故函數f（x）在區間（0,1）上單調遞增；

當x∈（1，＋∞）時，f′（x）＜0，故函數f（x）在區間（1，＋∞）上單調遞減．

所以f（x）的單調遞增區間為（0,1），單調遞減區間為（1，＋∞）．

（2）由題易得f′（x）＝－4x＋（x＞0），

因為函數f（x）在區間[1,2]上為單調函數，所以在區間[1,2]上，f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，

即－4x＋≥0或－4x＋≤0在x∈[1,2]時恒成立，即≥4x－或≤4x－（1≤x≤2），即≥max或≤min，其中1≤x≤2．

令h（x）＝4x－（1≤x≤2），易知函數h（x）在[1,2]上單調遞增，故h（1）≤h（x）≤h（2）．

所以≥h（2）或≤h（1），即≥4×2－＝，≤4×1－1＝3，

解得a＜0或0＜a≤或a≥1． 故a的取值范圍為（－∞，0）∪（0，]∪[1，＋∞）．