Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

9

-

y2

16

=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，O為雙曲線(xiàn)的中心，P是雙曲線(xiàn)右支上的點(diǎn)△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心為I，且圓I與x軸相切于點(diǎn)A，過(guò)F₂作直線(xiàn)PI的垂線(xiàn)，垂足為B，則|OA|•|OB|=（　　）

• A、3
• B、9
• C、25
• D、16

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義，把|PF₁|-|PF₂|=6，轉(zhuǎn)化為|AF₁|-|AF₂|=6，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)．再在三角形PCF₂中，由題意得，它是一個(gè)等腰三角形，從而在三角形F₁CF₂中，利用中位線(xiàn)定理得出OB，從而解決問(wèn)題．

解答： 解：根據(jù)題意得F₁（-5，0）、F₂（5，0），
設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓分別與PF₁、PF₂切于點(diǎn)A₁、B₁，與F₁F₂切于點(diǎn)A，
則|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，|F₂B₁|=|F₂A|，
又點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)右支上，
所以|PF₁|-|PF₂|=6，故|F₁A|-|F₂A|=6，而|F₁A|+|F₂A|=10，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），
則由|F₁A|-|F₂A|=6可得（x+5）-（5-x）=6，解得x=3，
故|OA|=3，
則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心在直線(xiàn)x=3上，
在三角形PCF₂中，由題意得，三角形PCF₂是一個(gè)等腰三角形，PC=PF₂，
∴在三角形F₁CF₂中，有：
|OB|=

1

2

|CF₁|=

1

2

（|PF₁|-|PC|）=

1

2

（|PF₁|-|PF₂|）=3，
∴|OA|•|OB|=9，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義、切線(xiàn)長(zhǎng)定理．解答的關(guān)鍵是充分利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形內(nèi)心的性質(zhì)等．