Question

一邊長為a的正方形鐵片，鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，然后做成一個無蓋方盒．
（1）試把方盒的容積V表示為x的函數(shù)；
（2）x多大時，方盒的容積V最大？

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋方盒，所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a-2x，高為x，從而寫出函數(shù)表達(dá)式；
（2）求導(dǎo)V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），由導(dǎo)數(shù)可得在x=

a

6

時函數(shù)V（x）有最大值．

解答： 解：（1）由于在邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長為x的小正方形，做成一個無蓋方盒，
所以無蓋方盒的底面是正方形，且邊長為a-2x，高為x，
則無蓋方盒的容積V（x）=（a-2x）²x，0＜x＜

a

2

；
（2）∵V（x）=（a-2x）²x=4x³-4ax²+a²x，0＜x＜

a

2

；
∴V′（x）=12x²-8ax+a²=（6x-a）（2x-a），
∴當(dāng)x∈（0，

a

6

）時，V′（x）＞0；
當(dāng)x∈（

a

6

，

a

2

）時，V′（x）＜0；
故x=

a

6

是函數(shù)V（x）的最大值點，
即當(dāng)x=

a

6

時，方盒的容積V最大．

點評：本題考查了學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力及導(dǎo)數(shù)在求最值時的應(yīng)用，屬于中檔題．