Question

如圖，AB為半圓的直徑，P為半圓上一點(diǎn)，|AB|=10，∠PAB=a，且sina=

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，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．
（1）求A、B為焦點(diǎn)且過(guò)P點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）動(dòng)圓M過(guò)點(diǎn)A，且與以B為圓心，以2

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為半徑的圓相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．
∵AB為半圓的直徑，P為半圓上一點(diǎn)，∴∠APB=90°．
在Rt△APB中，|PB|=|AB|sinα=10×

4

5

=8，∴|AP|=6．
∴|PA|+|PB|=6+8=14=2a，解得a=7，
∵2c=10，∴c=5，
∴b²=a²-c²=24．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

49

+

y2

24

=1．
（2）由題意可得：|MB|-|MA|=2

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＜10=|AB|，
故動(dòng)圓圓心M的軌跡在雙曲線的左支上，
∵2c^′=10，2a^′=2

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，∴c^′=5，a^′=

5

，(b′)2=52-(

5

)2=20．
其方程為

x2

5

-

y2

20

=1(x≤-

5

)．