Question

數列{b_n}的首項b₁=1，前n項和為S_n，點（n，S_n）、（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，數列{a_n}滿足

bn

an

=2ⁿ．
（Ⅰ）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=（1-

1

n+1

）

1

an

，R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

．試比較R_n與

5n

2n+1

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵b₁=1，∴S₁=1
∴點（1，1）、（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上
∴a+b=1，16a+4b=10，解得a=

1

2

，b=

1

2

．
∴S_n=

1

2

n²+

1

2

n．則n≥2時，S_n-1=

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）．
∴b_n=S_n-S_n-1=

1

2

n²+

1

2

n-[

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]=n（n≥2）．
又b₁=1也適合，所以b_n=n（n∈N₊）．則b_n-b_n-1=1．
∴數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
又

bn

an

=2ⁿ ∴a_n=

bn

2n

=

n

2n

．
（Ⅱ）證明：∵c_n=（1-

1

n+1

）

1

an

=

n

n+1

•

2n

n

=

2n

n+1

∴

1

cn

=

n+1

2n

∴R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

=

1+1

2

+

2+1

22

+

3+1

23

+…+

n+1

2n

①．
∴

1

2

R_n=

1+1

22

+

2+1

23

+

3+1

24

 +…+

n+1

2n+1

，②
兩式相減得

1

2

R_n=

1+1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

 -

n+1

2n+1

∴R_n=3-

3+n

2n

，R_n-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

．
所以只需要比較2ⁿ與2n+1的大小即可．
當n=1時，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜

5n

2n+1

，
當n=2時，2ⁿ＜2n+1，所以R_n＜

5n

2n+1

，
當n≥3時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+n++n+1＞2n+1，所以R_n＞

5n

2n+1

．（12分）