Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE．
（1）證明：PB⊥平面DEF．試判斷四面體DBEF是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；
（2）若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解法（1）因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD．而DE平面PDC，所以BC⊥DE．

又因?yàn)镻D=CD，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以DE⊥PC．

而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB平面PBC，所以PB⊥DE．

又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（解法2）

以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=DC=1，BC=λ，

則D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0）， =（λ1，﹣1），點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以E（0， ， ）， =（0， ， ），

于是 =0，即PB⊥DE．

又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．

因 =（0，1，﹣1）， =0，則DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（2）解法1）如圖1，

在面BPC內(nèi)，延長BC與FE交于點(diǎn)G，則DG是平面DEF與平面ACBD的交線．

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．

又因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．

所以DG⊥DF，DG⊥DB

故∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，

設(shè)PD=DC=1，BC=λ，有BD= ，

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB= ，

則 tan =tan∠DPF= = = ，解得 ．

所以 = =

故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 時(shí)， = ．

（解法2）

由PD⊥底面ABCD，所以 =（0，0，1）是平面ACDB的一個(gè)法向量；

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以 =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個(gè)法向量．

若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 ，

則運(yùn)用向量的數(shù)量積求解得出cos = = ，

解得 ．所以所以 = =

故當(dāng)面DEF與面ABCD所成二面角的大小為 時(shí)， =

【解析】解法1）（1）直線與直線，直線與平面的垂直的轉(zhuǎn)化證明得出PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF，即可判斷DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，確定直角．（2）根據(jù)公理2得出DG是平面DEF與平面ACBD的交線．利用直線平面的垂直判斷出DG⊥DF，DG⊥DB，根據(jù)平面角的定義得出∠BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，轉(zhuǎn)化到直角三角形求解即可．解法2）（1）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷即可．2）由PD⊥底面ABCD，所以 =（0，0，1）是平面ACDB的一個(gè)法向量；由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以 =（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一個(gè)法向量．根據(jù)數(shù)量積得出夾角的余弦即可得出所求解的答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．