Question

【題目】某城市有一直角梯形綠地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．現過邊界CD上的點E處鋪設一條直的灌溉水管EF，將綠地分成面積相等的兩部分．

（1）如圖①，若E為CD的中點，F在邊界AB上，求灌溉水管EF的長度；
（2）如圖②，若F在邊界AD上，求灌溉水管EF的最短長度．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，

所以 ，

取AB中點G，則四邊形BCEF的面積為 ，

即 = ，

解得 ，

所以 （km）．

故灌溉水管EF的長度為 km

（2）解：設DE=a，DF=b，在△ABC中， ，

所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，

所以∠ADC=60°，

所以△DEF的面積為 ，

又 ，所以 ，即ab=3．

在△ADC中，由余弦定理，得 ，

當且僅當 時，取“=”．

故灌溉水管EF的最短長度為 km

【解析】（1）取AB中點G，則四邊形BCEF的面積為 ，求出GF，即可求灌溉水管EF的長度；（2）△ADC中，由余弦定理，得 ，即可求灌溉水管EF的最短長度．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．