Question

【題目】某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C（x），當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí)，C（x）=（萬元）．當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí)，C（x）=51x+（萬元）．每件商品售價(jià)為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
（Ⅰ）寫出年利潤L（x）（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵每件商品售價(jià)為0.05萬元，
∴x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣﹣10x﹣250=+40x﹣250；
②當(dāng)x≥80時(shí)，根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，
∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．
綜合①②可得，L（x）=．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，
①當(dāng)0＜x＜80時(shí)，L（x）=+40x﹣250=﹣，
∴當(dāng)x=60時(shí)，L（x）取得最大值L（60）=950萬元；
②當(dāng)x≥80時(shí)，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，
當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=100時(shí)，L（x）取得最大值L（100）=1000萬元．
綜合①②，由于950＜1000，
∴當(dāng)產(chǎn)量為100千件時(shí)，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1000萬元．

【解析】（Ⅰ）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，投入成本為C（x）=（萬元），根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x≥80時(shí)，投入成本為C（x）=51x+ ， 根據(jù)年利潤=銷售收入﹣成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；
（Ⅱ）根據(jù)年利潤的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)0＜x＜80時(shí)，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)x≥80時(shí)，利用基本不等式求最值，最后比較兩個(gè)最值，即可得到答案．