Question

如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B，且與共線．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+m與橢圓E有兩個不同的交點P和Q，且原點O總在以PQ為直徑的圓的內部，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為，由A（a，0）、B（0，b），知，由與共線，知，由此能求出橢圓E的標準方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，故，，△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0，由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓E的標準方程為，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴，
∵與共線，
∴，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴橢圓E的標準方程為（5分）
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直線方程y=kx+m代入橢圓方程，
消去y，得，（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴，（7分）
△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-2）=16k²-8m²+8＞0（*）                 （8分）
∵原點O總在以PQ為直徑的圓內，
∴，即x₁x₂+y₁y₂＜0（9分）
又
由得，
依題意且滿足（*）       （11分）
故實數m的取值范圍是（12分）
點評：本題考查橢圓參數方程的求法，考實數的取值范圍，考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．