Question

【題目】已知中，，，以為軸將旋轉到，形成三棱錐．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，取的中點及的中點，連接，，，．證明平面，即得，再由平面幾何知識得，由可得線面垂直，從而得證線線垂直；

（Ⅱ）作出直線與平面所成的角，通過解三角形求解．

（Ⅰ）證明：取的中點，連接，取的中點及的中點，連接，，，．則，

∵，∴，由旋轉知，

∴二面角的平面角即為，

且，∴平面，

又平面，∴平面平面．

∵，，

∴為正三角形，∴．

∵平面平面，∴平面，

∵平面，∴．

易求得，，，

由，，則，所以，，

所以，從而，

又，∴平面，

∵平面∴．

（Ⅱ）取的中點，連接，，過點作邊上的高，垂足為．

∵，又，且為的中點，

∴，，

∵，∴平面．

∵，且平面，∴，

又，∴平面，

∴直線與平面所成的角即為，

由（Ⅰ）可知為正三角形，可知，

則易求得，，

∴，則，

即直線與平面所成角的余弦值為．