Question

[理]已知A、B是拋物線y²=4x上兩點，且

OA

•

OB

=0，則原點O到直線AB的最大距離為（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、8

Answer 1

分析：設直線AB的方程為x=my+b，代入拋物線方程消去x，求得y₁+y₁．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂整理可得（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，求得b的值，再根據原點到直線AB的距離為判斷當m=0時距離最大，進而求得答案．

解答：解：設直線AB的方程為x=my+b，代入拋物線方程可得y²-4my-4b=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+b）（my₂+b）+y₁y₂=（m²+1）y₁y₂+mb（y₁+y₂）+b²=（m²+1）（-4b）+4m²b+b²=b²-4b=0，
解之得b=4或b=0（舍去），
即直線AB的方程為x=my+4，原點到直線AB的距離為d=

4

1+m2

，
當m=0時，d_最大值=4．
故選C

點評：本題主要考查了拋物線的性質．當直線與拋物線聯立時，注意用好韋達定理．