Question

（理）已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．
（1）設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于點P（4，4），求直線AB的斜率；
（2）問題（1）的條件中出現了這樣的幾個要素：已知圓錐曲線Γ，過該圓錐曲線上的相異兩點A、B所作的兩條直線l₁、l₂相交于圓錐曲線Γ上一點；結論是關于直線AB的斜率的值．請你對問題（1）作適當推廣，并給予解答；
（3）若線段AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點Q（x，0）．若x=5，試用線段AB中點的縱坐標表示線段AB的長度，并求出中點的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線與拋物線聯立方程組解得A（16，-8），B（0，0），由點斜式寫出兩條直線l₁、l₂的方程，從而得出直線AB的斜率；
（2）推廣的評分要求分三層：
一層：點P到一般或斜率到一般，或拋物線到一般，例子：1、已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于拋物線y²=4x上的一定點P，求直線AB的斜率等等；
二層：兩個一般或推廣到其它曲線；
三層：滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法）
（3）點Q（x，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．設線段AB的中點是M（x_m，y_m），斜率為k，寫出線段AB的垂直平分線l的方程，又點Q（5，0）在直線l上，求出x_m=3．最后利用0＜y_m²＜4x_m=12，即可求出中點的縱坐標的取值范圍．
解答：解：（理）（1）由解得A（16，-8）；由解得B（0，0）．
由點斜式寫出兩條直線l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直線AB的斜率為． …（4分）
（2）推廣的評分要求分三層
一層：點P到一般或斜率到一般，或拋物線到一般（（3分），問題（1分）、解答2分）
例：1、已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于拋物線
y²=4x上的一定點P，求直線AB的斜率；
2、已知A、B是拋物線y²=4x上的相異兩點．設過點A且斜率為-k 1的直線l₁，與過點B且斜率為k的直線l₂相交于拋物線
y²=4x上的一點P（4，4），求直線AB的斜率；
3、已知A、B是拋物線y²=2px（p＞0）上的相異兩點．設過點A且斜率為-1的直線l₁，與過點B且斜率為1的直線l₂相交于拋物線y²=2px（p＞0）上的一定點P，求直線AB的斜率； AB的斜率的值．
二層：兩個一般或推廣到其它曲線（（4分），問題與解答各占2分）
例：4．已知點Ρ是拋物線y²=4x上的定點．過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
三層：滿分（對拋物線，橢圓，雙曲線或對所有圓錐曲線成立的想法．）（（7分），問題（3分）、解答4分）
例如：5．已知拋物線y²=2px上有一定點P，過點P作斜率分別為k、-k的兩條直線l₁、l₂，分別交拋物線于A、B兩點，試計算直線AB的斜率．
過點P（x，y），斜率互為相反數的直線可設為y=k（x-x）+y，y=k（x-x）+y，其中y²=2px．
由得ky²-2py+2py-ky²=0，所以
同理，把上式中k換成-k得，所以
當P為原點時直線AB的斜率不存在，當P不為原點時直線AB的斜率為．
（3）點Q（x，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．
設線段AB的中點是M（x_m，y_m），斜率為k，則=．（12分）
所以線段AB的垂直平分線l的方程為，
又點Q（5，0）在直線l上，所以，
而y_m≠0，于是x_m=3．                  …（13分）
（斜率，，則x_m=3  （13分）
線段AB所在直線的方程為，…（14分）
代入y²=4x，整理得4x²-24x+y_m⁴-12y_m²+36=0…（15分）x₁+x₂=6，．
設AB線段長為l，則
=（4+y_m²）（-y_m²+12）=-y_m⁴+8y_m²+48…（16分）
因為0＜y_m²＜4x_m=12，所以…（18分）
即：．（）．
點評：本小題主要考查拋物線的簡單性質、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．