Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘的產值函數為R(x)=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數為C(x)=460x+5000（單位：萬元），又在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x)。

（Ⅰ）求利潤函數P(x)及邊際利潤函數MP(x)；（提示：利潤=產值成本）

（Ⅱ）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

（Ⅲ）求邊際利潤函數MP(x)單調遞減時x的取值范圍，并說明單調遞減在本題中的實際意義是什么？

Answer 1

解析：（Ⅰ）P(x)=R(x)-C(x)=-10x³+45x²+3240x-5000,(xN^*,且1≤x≤20);    MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x²+60x+3275，(xN^*,且1≤x≤19)

（Ⅱ）.

∴當0＜x＜12時＞0,當x＜12時，＜0.      

∴x=12，P（x）有最大值.                             

即年造船量安排12 艘時，可使公司造船的年利潤最大．   

（Ⅲ）∵MP（x）=-30x²+60x+3275=-30(x-1)²+3305,             

所以，當x≥1時，MP（x）單調遞減，x的取值范圍為[1,19]，且xN^*     

是減函數的實際意義：隨著產量的增加，每艘船的利潤在減少．