Question

某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為R（x）=3700x+45x²-10x³（單位：萬元），成本函數C（x）=460x+5000（單位：萬元）
（1）求利潤函數P（x）；（提示：利潤=產值-成本）
（2）問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？

Answer 1

分析：（1）根據利潤=產值-成本，利用已知中的產值函數與成本函數，可得得出利潤函數P（x）；
（2）先對利潤函數P（x）求導數，研究它的單調性，從而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大．

解答：解：（1）根據利潤=產值-成本，因為造船x艘的產值函數為R（x）=3700x+45x²-10x³，成本函數C（x）=460x+5000
所以P（x）=R（x）-C（x）=-10x³+45x²+3240x-5000（x∈N^*，且1≤x≤20）；
（2）P′（x）=-30x²+90x+3240=-30（x-12）（x+9），
∵x＞0，∴P′（x）=0時，x=12，
∴當0＜x＜12時，P′（x）＞0，當x＞12時，P′（x）＜0，
∴x=12時，P（x）有最大值．
即年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．

點評：利用導數解決生活中的優化問題，關鍵是要建立恰當的數學模型，當函數定義域是開區間且在區間上只有一個極值時，這個極值就是它的最值．