Question

【題目】已知函數．

（1）討論函數的單調性；

（2）對任意的，恒成立，請求出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）分、兩種情況討論的符號后可得的單調性.

（2）原不等式等價于，令，其導數為，求得，虛設其在上的零點后，可證明恒成立，從而得到在上為增函數，求得的值域后可得的取值范圍.

解：（1），

若，則，所以函數在上遞增；

若，方程的判別式為，

所以方程有兩根分別為，，

所以當時，；

當時，，

所以函數在上遞減；在上遞增.

（2）不等式，對任意的恒成立，

即對任意的恒成立．

令，則，

令，則，

易知在上單調遞增，

因為，，且的圖象在上不間斷，

所以存在唯一的，使得，即，則．

當時，單調遞減；當時，單調遞增．

則在處取得最小值，

且最小值為，

所以，即在上單調遞增，所以.

所以．