Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）＝｜x﹣m｜+｜x｜，m∈N*，存在實數x使f（x）＜2成立．

（1）求實數m的值；

（2）若α≥1，β≥1，f（α）+f（β）＝4，求證：≥3．

Answer 1

【答案】（1）m＝1；（2）見證明

【解析】

（1）要使不等式有解，則，再由，能求出實數的值；

（2）先求出，從而，由此利用基本不等式，即可作出證明．

(1)因為|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|，

所以要使不等式|x－m|＋|x|<2有解，則|m|<2，

解得－2<m<2.因為m∈N*，所以m＝1.

(2)證明：因為α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝4，

即α＋β＝3，

所以

當且僅當，即α＝2，β＝1時等號成立，

故≥3.